Giả sử Alice có một electron e1 có trạng thái | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle |\phi \rangle _{1}} = a | u p ⟩ 1 {\displaystyle |up\rangle _{1}} + b | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle |down\rangle _{1}} và muốn truyền trạng thái của hạt này cho Bob

Alice tạo ra một hệ hai electron vướng víu lượng tử với nhau e2, e3 có trạng thái | ψ ⟩ 23 {\displaystyle |\psi \rangle _{23}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 2 | d o w n ⟩ 3 + | d o w n ⟩ 2 {\displaystyle |up\rangle _{2}|down\rangle _{3}+|down\rangle _{2}} | u p ⟩ 3 {\displaystyle |up\rangle _{3}} )

Alice giữ e2 lại cho mình và đưa e3 cho Bob. Trạng thái của hệ ba hạt là:

| ψ ⟩ 123 {\displaystyle |\psi \rangle _{123}} = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle |\phi \rangle _{1}} | ψ ⟩ 23 {\displaystyle |\psi \rangle _{23}}

Alice đo trạng thái của hệ 2 hạt e1, e2. Có bốn khả năng xảy ra:

| ψ ⟩ 12 + {\displaystyle |\psi \rangle _{12}^{+}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 1 | d o w n ⟩ 2 + | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle (|up\rangle _{1}|down\rangle _{2}+|down\rangle _{1}} | u p ⟩ 2 ) {\displaystyle |up\rangle _{2})}

| ψ ⟩ 12 − {\displaystyle |\psi \rangle _{12}^{-}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 1 | d o w n ⟩ 2 − | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle (|up\rangle _{1}|down\rangle _{2}-|down\rangle _{1}} | u p ⟩ 2 ) {\displaystyle |up\rangle _{2})}

| ϕ ⟩ 12 + {\displaystyle |\phi \rangle _{12}^{+}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 1 | u p ⟩ 2 + | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle (|up\rangle _{1}|up\rangle _{2}+|down\rangle _{1}} | d o w n ⟩ 2 ) {\displaystyle |down\rangle _{2})}

| ϕ ⟩ 12 − {\displaystyle |\phi \rangle _{12}^{-}} = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 1 | u p ⟩ 2 − | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle (|up\rangle _{1}|up\rangle _{2}-|down\rangle _{1}} | d o w n ⟩ 2 ) {\displaystyle |down\rangle _{2})}

Trạng thái của hệ ba hạt:

| ψ ⟩ 123 {\displaystyle |\psi \rangle _{123}} = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle |\phi \rangle _{1}} | ψ ⟩ 23 {\displaystyle |\psi \rangle _{23}}

= (a | u p ⟩ 1 {\displaystyle |up\rangle _{1}} + b | d o w n ⟩ 1 {\displaystyle |down\rangle _{1}} ) ( 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 2 | d o w n ⟩ 3 + | d o w n ⟩ 2 {\displaystyle |up\rangle _{2}|down\rangle _{3}+|down\rangle _{2}} | u p ⟩ 3 {\displaystyle |up\rangle _{3}} ))

= a 2 {\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}} ( | u p ⟩ 1 | u p ⟩ 2 | d o w n ⟩ 3 − | u p ⟩ 1 | d o w n ⟩ 2 | u p ⟩ 3 {\displaystyle |up\rangle _{1}|up\rangle _{2}|down\rangle _{3}-|up\rangle _{1}|down\rangle _{2}|up\rangle _{3}} ) + b 2 {\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {2}}}} ( | d o w n ⟩ 1 | u p ⟩ 2 | d o w n ⟩ 3 − | d o w n ⟩ 1 | d o w n ⟩ 2 | u p ⟩ 3 {\displaystyle |down\rangle _{1}|up\rangle _{2}|down\rangle _{3}-|down\rangle _{1}|down\rangle _{2}|up\rangle _{3}} )

Nhân vô hướng các khả năng với | ψ ⟩ 123 {\displaystyle |\psi \rangle _{123}} ta có:

⟨ ψ 12 − | ψ 123 ⟩ = 1 2 ( − a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 ) {\displaystyle \langle \psi _{12}^{-}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(-a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3})}

⟨ ψ 12 + | ψ 123 ⟩ = 1 2 ( − a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 ) {\displaystyle \langle \psi _{12}^{+}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(-a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3})}

⟨ ϕ 12 − | ψ 123 ⟩ = 1 2 ( a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 ) {\displaystyle \langle \phi _{12}^{-}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3})}

⟨ ϕ 12 + | ψ 123 ⟩ = 1 2 ( a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 ) {\displaystyle \langle \phi _{12}^{+}|\psi _{123}\rangle ={\frac {1}{2}}(a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3})}

Bởi vì:

| ψ 12 − ⟩ ⟨ ψ 12 − | + | ψ 12 + ⟩ ⟨ ψ 12 + | + | ϕ 12 − ⟩ ⟨ ϕ 12 − | + | ϕ 12 + ⟩ ⟨ ϕ 12 + | = 1 ^ {\displaystyle |\psi _{12}^{-}\rangle \langle \psi _{12}^{-}|+|\psi _{12}^{+}\rangle \langle \psi _{12}^{+}|+|\phi _{12}^{-}\rangle \langle \phi _{12}^{-}|+|\phi _{12}^{+}\rangle \langle \phi _{12}^{+}|={\hat {1}}}

Ta có:

| ψ ⟩ 123 = 1 ^ | ψ ⟩ 123 {\displaystyle |\psi \rangle _{123}={\hat {1}}|\psi \rangle _{123}}

= | ψ 12 − ⟩ ⟨ ψ 12 − | ψ ⟩ 123 + | ψ 12 + ⟩ ⟨ ψ 12 + | ψ ⟩ 123 + | ϕ 12 − ⟩ ⟨ ϕ 12 − | ψ ⟩ 123 + | ϕ 12 + ⟩ ⟨ ϕ 12 + | ψ ⟩ 123 {\displaystyle |\psi _{12}^{-}\rangle \langle \psi _{12}^{-}|\psi \rangle _{123}+|\psi _{12}^{+}\rangle \langle \psi _{12}^{+}|\psi \rangle _{123}+|\phi _{12}^{-}\rangle \langle \phi _{12}^{-}|\psi \rangle _{123}+|\phi _{12}^{+}\rangle \langle \phi _{12}^{+}|\psi \rangle _{123}}

= 1 2 ( | ψ 12 − ⟩ ( − a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 ) + | ψ 12 + ⟩ ( − a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 ) + | ϕ 12 − ⟩ ( a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 ) + | ϕ 12 + ⟩ ( a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(|\psi _{12}^{-}\rangle (-a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3})+|\psi _{12}^{+}\rangle (-a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3})+|\phi _{12}^{-}\rangle (a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3})+|\phi _{12}^{+}\rangle (a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3})}

Từ phương trình trên, suy ra:

Nếu Alice đo được | ψ 12 − ⟩ {\displaystyle |\psi _{12}^{-}\rangle } thì e3 sẽ có trạng thái | ψ ⟩ 3 = − a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 {\displaystyle |\psi \rangle _{3}=-a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3}}

Bob tác động ( − 1 0 0 − 1 ) ( − a − b ) = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-a\\-b\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}}

Nếu Alice đo được | ψ 12 + ⟩ {\displaystyle |\psi _{12}^{+}\rangle } thì e3 sẽ có trạng thái | ψ ⟩ 3 = − a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 {\displaystyle |\psi \rangle _{3}=-a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3}}

Bob tác động ( − 1 0 0 1 ) ( − a b ) = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-a\\b\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}}

Nếu Alice đo được | ϕ 12 − ⟩ {\displaystyle |\phi _{12}^{-}\rangle } thì e3 sẽ có trạng thái | ψ ⟩ 3 = a | u p ⟩ 3 + b | d o w n ⟩ 3 {\displaystyle |\psi \rangle _{3}=a|up\rangle _{3}+b|down\rangle _{3}}

Bob tác động ( 0 1 1 0 ) ( b a ) = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\a\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}}

Nếu Alice đo được | ϕ 12 + ⟩ {\displaystyle |\phi _{12}^{+}\rangle } thì e3 sẽ có trạng thái | ψ ⟩ 3 = a | u p ⟩ 3 − b | d o w n ⟩ 3 {\displaystyle |\psi \rangle _{3}=a|up\rangle _{3}-b|down\rangle _{3}}

Bob tác động ( 0 1 − 1 0 ) ( − b a ) = | ϕ ⟩ 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}=|\phi \rangle _{1}}